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极坐标系下的面积公式

扇形顶点为极点,一个边为极轴.设:扇形顶角为θ(弧度),半径为R.则扇形面积S=(1/2)θR.

dθ是极坐标的极角θ的增量.面积s近似等于扇形的面积=1/2*r^2dθ (这里:r是极经,dθ是圆心角)

dθ就是极径每次变化的角度,这个角度很小很小,所以相应变化的弧度也很小,小到可以看做一条直线,又因为弧长等于半径乘与角度,即式中的rdθ,所以变化的面积dA就等于1/2*r*rdθ(这个变化的弧长看做直线,即直角三角形的底边)

这两个都是0~2π上下限极坐标的意义是这样的:一根棒子,从x轴正方向夹角0度起,逆时针摆动,棒子的长度和摆过的角度θ有关,扫过的单位面积量是1/2*r*r*dθ.所以求其面积就是棒子从0度扫到360度,转一圈积分.

扇形的半径就是圆锥的母线,扇形的弧长就是圆锥的底面周长) 我们知道,扇形的面积公式是:S=1/2lr 即:扇形面积等于二分之一的弧长乘半径,就拿这个图来说吧,OA为半径r,所以扇形的弧长就等于2πr,SA为半径l,所以扇形的面积S=1/22πrl=πrl 即:圆锥的侧面积S=πrl,它是我们计算圆锥侧面积的一个重要公式,一定要记牢. 嘻嘻,我该上初三了,暑假补课刚学完的,不知道你听懂没,我就这个水平拉~

r=|2cos2θ| 与r=2cos2θ图形完全一样,是四叶玫瑰线.[想想.为什么?] 环围成的总面积=1/2*π*2=2π,[此公式也.数学手册 P59] 也可以直接积分 S= 8*1/2∫[0.π/4]rdθ =16∫[0,π/4]cos2θdθ =16∫[0,π/4]cos4θ+1/2dθ =2sin4θ+4θ在[0,π/4]的值差 =2π

^绕极轴的旋转,其面积 = ∫ 2πy ds = ∫ 2π rsinθ √(r^2+r'^2) dθ, where s is arc length.推导:y = rsinθ; (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = ((-rsinθ+r'cosθ)dθ)^2 + ((rcosθ+r'sinθ)dθ)^2 = (r^2+r'^2)(dθ)^2

ρ=e^(aθ) θ从0变化到2π S=(1/2)∫(0,2π)e^(2aθ)dθ

把x=ρ cosθ,y=ρ cosθ带入边界方程确定ρ=ρ(θ),即确定了ρ边界.θ边界看转角当然也可以先积θ后积ρ,不过不常用

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